参考：「videoタグを使って動画を再生する」
http://techbooster.org/html5/9592/

で、調べてみるとWordPressではショートコードが使えるのですね。
https://codex.wordpress.org/Video_Shortcode

なので、スマホ向けのWordPressアプリを使えば、スマホで撮影した動画を簡単に投稿することができます。
WordPress for Android
https://play.google.com/store/apps/details?id=org.wordpress.android&hl=ja
WordPress for iPhone
https://itunes.apple.com/jp/app/wordpress/id335703880?mt=8